湍流中的最小尺度的结构有多小?

自从19世纪末英国著名科学家奥斯堡恩·雷诺首次将湍流作为流体力学课题(图1)来研究以来,湍流就一直是流体力学领域中的一个很重要的课题。

 

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

1  1883年,雷诺通过实验给出了湍流直观的描述和发生湍流状态的条件。他指出,层流和湍流这两种流动状态的转变与无量纲数ρUd/μ有关,其中ρ是流体的密度,U是流速,d是管子的直径,μ是流体的粘性系数。后来这个无量纲数被称为雷诺数。

 

从雷诺实验到今天已经过了一百三十多年。这期间虽然科学家在湍流的研究中取得了不少成果,但是还远远不能做到准确地预测湍流。湍流研究的主要困难在于它是一种多尺度的物理现象,在空间上具有各种不同尺度的结构(图2、图3)。就拿数值模拟来说,由于湍流的这种特性,虽然一般认为湍流运动是满足Navier-Stokes方程组的,但是想通过直接求解Navier-Stokes方程组来描述湍流运动是非常困难的。例如我们研究流过一辆汽车的气流,我们会发现其中含有空间尺度为0.1米量级的结构,有空间尺度为0.01米量级的结构,有空间尺度为0.001米量级的结构,而且可能还有更小空间尺度的结构。如果我们要采用直接求解Navier-Stokes方程组的数值方法来研究这辆汽车周围的气流,那么我们要建立一个能包含整辆汽车的计算域,但是每个网格单元的尺寸却要小于最小空间尺度的结构,这在目前的电子计算机的计算能力下显然是不可能做到的。

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

2  某湍流射流的照片,其中利用染色剂进行了流动显示(复制自[1])。从这张图中可以看出,这一湍流射流中存在着各种不同空间尺度的结构。

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

3  夹在两个旋转圆柱之间缝隙中的低温氦气流动速度的能谱。流动速度是利用固定在某个位置的热线探针测量出的。可以看出能谱的频率范围是很宽的,这反映了该流动在空间上具有各种不同尺度的结构。(来自于MaurerTabelingZocchi的工作;复制自[1])。

 

那么问题来了,湍流中的最小尺度的结构有多小呢?由于湍流现象的复杂性,在雷诺实验之后的几十年,这个问题一直没有得到解答。
最终在1941年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了局部各向同性湍流locally isotropic turbulence)的概念,对湍流中的最小尺度的结构给出了定量的描述。而且,柯尔莫哥洛夫的局部各向同性湍流理论还开创了对湍流中的小尺度结构的一般性质的研究,可以说是湍流研究历史上的一项具有里程碑意义的工作。今天我们就来聊聊这个话题。

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

4  安德雷·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫(Андре́й  Никола́евич Колмого́ров1903-1987;英文文献一般称Andrey  Nikolayevich  Kolmogorov),苏联数学家。他在概率论、拓扑学、直觉主义逻辑、湍流、经典力学、算法信息论、计算复杂性等领域都有重要的贡献。

 

在柯尔莫哥洛夫之前,科学家已经认识到,湍流中存在着湍动能的级串过程energy cascade)。具体来说,湍流中的大尺度结构从平均流获取动能,由于非线性效应(描述流体运动的Navier-Stokes方程组显然是非线性的),大尺度结构向较小尺度的结构传输动能,较小尺度的结构又向更小尺度的结构传输动能,依此类推,动能逐级传输到尺度越来越小的结构上,最终在最小尺度的结构上通过粘性耗散转化为热能。注意,在这个动能传输链中,除了最小尺度的结构之外,其余尺度上的粘性耗散效应几乎是可以忽略的。平均流的流动雷诺数越高,则流动中的尺度范围越宽(即最大尺度和最小尺度相差得越远)。

 

 

视频1  Taylor-Green涡的演化过程。这是展示湍动能级串过程的一个经典的算例。计算域是三维空间中的一个边长为2π米的正方体,在xyz每个方向都采用周期性边界条件。我们采用谱方法直接求解Navier-Stokes方程组(不采用任何湍流模型,即直接数值模拟),网格数量为1283。流体的动力粘度是ν=0.004Pa·s,密度是1kg/m3。速度场的初始条件为Taylor-Green涡速度场,其数学表达式是(速度的单位是m/s):

湍流中的最小尺度的结构有多小?

图中的红色曲面为λ2=0等值面,这是一种提取流场中的涡结构的方法。可以看出,随着时间的推移,流场中的大尺度结构破碎,逐级产生越来越小尺度的结构,这正是动能从大尺度结构逐级向小尺度结构传输的体现。

 

但是,在柯尔莫哥洛夫之前,科学家的认识仅仅是停留在上面描述的这种定性的理解上。而柯尔莫哥洛夫是一位富有洞察力的科学家,他敏锐地意识到,既然动能是逐级地从大尺度结构向小尺度结构传输的,那么,对于某一个具体的流动来说,如果流动中的尺度范围足够宽(即最大尺度和最小尺度相差得足够远),则流动中的小尺度结构将不会直接“感受”到平均流的各向异性,从而流动中的小尺度结构是各向同性的。
我们用一个图来进一步解释。如图5是湍动能级串过程的物理图像,注意这里我们为了便于对动能传输链进行说明,把不同尺度的结构画在不同的行,但是实际上湍流是各种不同尺度的结构的叠加,即不同尺度的结构占据着同一个空间区域。所谓“小尺度结构”,就是在动能传输链中与平均流之间相隔足够远的结构,如图中用红色虚线框圈出的那些结构。由于小尺度结构在动能传输链中与平均流之间相隔足够远,因此小尺度结构不会直接“感受”到平均流的各向异性,因此小尺度结构是各向同性的。
进一步地,正如前面所提到的,在整个动能传输链中,除了最小尺度的结构之外,其余尺度上的粘性耗散效应几乎是可以忽略的,因此湍动能在各级上的传输速率是相同的,而且这个传输速率也等于最小尺度上的粘性耗散速率(即湍动能耗散率),如图5。基于这种认识,柯尔莫哥洛夫提出了一个假设(被后人称为“柯尔莫哥洛夫第一假设”):

在流动雷诺数足够高的湍流流动中,小尺度结构的统计特性具有普适的形式,而且仅取决于ν和ε。其中ν是流体的运动粘度,ε是湍动能耗散率。

 

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

5  湍动能级串过程的物理图像。

 

例如,如果某快艇尾流中某个位置的运动粘度、湍动能耗散率都与某高压气体管道中某个位置的运动粘度、湍动能耗散率相同,则这两个位置的湍流小尺度结构具有相同的统计特性。(图6

 

 

湍流中的最小尺度的结构有多小?

6  对柯尔莫哥洛夫第一假设的举例说明。

 

根据柯尔莫哥洛夫第一假设,小尺度结构的统计特性具有普适的形式,而且只取决于运动粘度ν以及湍动能耗散率ε,因此,湍流中的最小尺度η只取决于流体的运动粘度ν以及湍动能耗散率ε。因此,可以由量纲分析得到:

湍流中的最小尺度的结构有多小?

即η(ν3/ε)的四分之一次方成正比,其比例系数是一个普适的常数。实验结果证实这个普适常数就等于1。也就是说,湍流中的最小尺度就是(ν3/ε)1/4。注意这里说的是尺度而不是尺寸。湍流中的最小结构的尺寸在不同的时刻、不同的空间位置都是不同的。这里所说的“尺度”实际上是“量级”的概念。也就是说,虽然湍流中的最小结构的尺寸在不同的时刻、不同的空间位置都是不同的,但是它们的量级都可以用(ν3/ε)1/4代表。尺度η被称为耗散尺度,因为正如前面所提到的,湍流的粘性耗散就发生在这个尺度上。为了纪念柯尔莫哥洛夫对确定这个尺度所做的贡献,尺度η也被称为柯尔莫哥洛夫尺度Kolmogorovscale)。
柯尔莫哥洛夫还进一步提出了第二个假设(被后人称为“柯尔莫哥洛夫第二假设”),由此得到著名的“湍能谱的-5/3幂次律”,感兴趣的读者可以阅读相关的专著(例如[3])。
最后举一个实际的例子。这个例子摘自北航王洪伟老师的“流体力学基础”教学视频。

【例】一个10瓦的电动搅拌器搅拌容器中的1公斤水,流场中最小的涡尺寸是多大?如果搅拌器的功率增大到50瓦呢?

【解】显然电动搅拌器向水输入的功全部都通过粘性耗散转变为水的热能。因此湍动能耗散率为

湍流中的最小尺度的结构有多小?

 

另一方面,常温下水的运动粘度约为

湍流中的最小尺度的结构有多小?

因此,耗散尺度为

湍流中的最小尺度的结构有多小?

如果搅拌器的功率增大到50瓦,则

湍流中的最小尺度的结构有多小?

因而耗散尺度为

湍流中的最小尺度的结构有多小?

墨尔本大学的研究生刘丽媛阅读了本文初稿并提出了很好的修改建议,在此表示感谢。

 

原文始发于微信公众号(流体那些事儿):湍流中的最小尺度的结构有多小?

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  • 文本由 发表于 2021年1月23日14:57:39
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匿名

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