12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

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关于爱因斯坦的故事,各位模友也听超模君讲了不少,但是,牛人的故事,当然是怎么讲都不嫌多,怎么听都不会厌的。

 

今天,超模君再跟大家一起看一下12岁的爱因斯坦与勾股定理的故事吧。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

作者:康奈尔大学数学教授史蒂夫·斯托加茨(Steven Strogatz)

译者:王培

原文发表于 THE NEW YORKER  2015.11.19

原文标题为 "Einstein’s First Proof"(“爱因斯坦的第一个证明”)

 


1949年11月26日,阿尔伯特·爱因斯坦在《周六文学评论》(Saturday Review of Literature)(译注:美国文学评论杂志)上发表了一篇文章,讲述了自己童年时期的两个重大时刻。

 

第一个时刻与指南针有关。4岁或5岁那年,他父亲给了他一个指南针。爱因斯坦至今还记得他当时的那种惊讶:指针竟然总是指向北方,即便没有任何东西把它拉到那个方向。就在那时,他得出了关于物理世界结构的一个结论:“事物背后必定有某种深藏不露的隐秘力量。

 

第二个时刻发生在他刚满12岁不久,他得到了“一本探讨欧几里得平面几何的小册子”。这本书的“清晰性”,他写道——一个数学命题可以“被彻底证明,且没有丝毫可质疑之处”的这样一个事实——激发了他想要“了解一个全然不同的世界”的好奇心。纯粹的思辨竟然可以具有地磁学那样的力量。

 

这个月,我们将纪念爱因斯坦广义相对论发表一百周年,而相对论是他以清晰的方式揭示给我们的诸多隐秘力量之一。媒体的纪念文章已多如牛毛,但如果我们能深入了解他实现了哪些成就,又是如何实现它们的,岂不更好。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?然而,这几乎是不可能完成的任务,因为广义相对论太复杂了。

 

亚瑟·艾丁顿——这位英国天体物理学家带领团队在1919年的一次日食中证实了爱因斯坦的预测——被问到,在这个世界上是否真的只有3个人理解相对论时,他什么都没说。“不要这么谦虚嘛,艾丁顿!”提问者说。“相反,”艾丁顿回应道,“我在想,谁有可能是那第三个人。”

 

幸好,我们还可以了解爱因斯坦早年的思考轨迹。

 

早在他得到那本几何学的小册子之前,他当工程师的叔叔雅各布(Jakob)就向他介绍了几何学。爱因斯坦开始对毕达哥拉斯定理(也被称为“勾股定理”)着迷——“在付出大量努力之后”,他在《周六文学评论》的文章中写道——最终,他亲自证明了这个定理。我将带你领略他的证明步骤,一步一步地来。这是爱因斯坦的第一个杰作,当然也是他最容易为人理解的作品。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?这一漂亮的推理过程揭示了他在思维、表达和性情方面的特点。他对对称的敏感、他简单的证明方法、他对传统方法的不屑、他的韧劲、他用图像帮助思考的习惯——所有这些特质都呈现在这个证明之中,正如它们后来又呈现在他的相对论中一样。

 

你可能还记得,毕达哥拉斯定理是用一组符号来表达的:a²+b²=c²。它涉及到直角三角形,也即是,三角形的三个角中有一个直角(90度)。该定理是说,如果a和b是三角形脚边(与直角相交的两条边)的长度,那么,根据上面那个公式,我们就可以得到直角三角形斜边(直角对面那条边)的长度c。

   

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?每一年,全世界有数百万中学生被学校灌输了这一定理,但是绝大多数学生都没认真思考过它,或许你也从来没多想过。然而,一旦你开始认真思考,问题就来了。为什么它是正确的?人们是怎么证明它的?为什么需要这个定理?

 

为了给最后一个问题提供一点线索,让我们想想“几何”这个词的词源。它来自于古希腊词根g_____ē(意思是“地球”或“土地”)和metria(“测量”)。我们很容易想象,古人和他们的统治者都很关心领地或地块的测量。政府需要评估应该收多少土地税,应该为土地浇灌多少水,农民能产出多少小麦、大麦和纸莎草。

 

假设有一块长方形土地,30码宽,40码长。

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这块土地有多大呢?有意义的衡量标准就是测量它的面积。对于一块30宽、40长的地块,面积就是30×40,等于120平方码。这是收税员唯一关心的数字。他不会对你土地的具体形状,以及你拥有其中哪些部分感兴趣。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?相反,测绘员则需要关注形状、角度和距离。在古代埃及,尼罗河每年的汛期有时候会冲刷掉地块之间的界线,这时就很有必要用精准的测绘重定楚河汉界。4000年以前,测绘员在查看一处30×40的地块时,可能还想知道从某个角到其斜对角的距离有多长? 

 

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这个问题的答案远没有前面提到的关于面积的答案那么简单,然而全球各地的古代文明——巴比伦、中国、埃及、希腊、印度——都得出了答案。

 

他们所采用的方法就是今天所谓的毕达哥拉斯定理,以纪念出生在萨摩斯的毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos),一个大约生活在公元前550年的古希腊数学家、哲学家和宗教领袖。该定理要求我们想象三块假想中的正方形土地——一块由长方形的宽边构成,一块由长方形的长边构成,第三块由长方形的对角线构成。

 

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接下来,我们将分别计算由长边和宽边构成的正方形的面积,然后把它们加总。结果是,900+1600=2500。根据毕达哥拉斯定理,这一结果与对角线构成的正方形的面积是一样的。于是,我们就知道了我们之前不知道的长方形对角线的长度:50码,因为,50×50=2500。

 

毕达哥拉斯定理对于任何大小的长方形——小的,大的,或介于其间的——都适用。长方形两条边各自构成的正方形之和总是等于长方形对角线构成的正方形。(更准确地说,是正方形的面积之和,而不是正方形本身之和。但为简便起见,我还是继续用正方形之和,而不用正方形面积之和。)面积加总规则同样适用于直角三角形,当你沿着对角线切分一个长方形时,你就得到了两个直角三角形。

 

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现在,这一规则看上去更像是你在学校学到的公式了:a²+b²=c²。从图像化的角度来看,直角三角形两条脚边构成的正方形之和等于斜边构成的正方形。

 

但是,为什么这个定理是正确的呢?它背后的逻辑是什么呢?实际上,今天我们已经对该定理给出了数百种证明法。

 

其中一种尤其简单,它是由毕达哥拉斯派学者以及古代中国人各自提出的。一种更复杂的证明出现在《几何原本》(Euclid’s Elements)中,过去2300年来,学生们为了理解这种证明,绞尽了脑汁,而它也让哲学家亚瑟·叔本华产生了“我们看到别人被下套时的那种不舒服感”。甚至美国总统詹姆斯 A.加菲尔德(1881年当选)也给出过一种证明,它涉及对不规则四边形的精巧使用。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?遗憾的是,爱因斯坦没有留下童年时期证明该定理的任何文字记录。在《周六文学评论》的文章中,他只是简要讲述了这个证明,提到他主要依赖了“三角形的相似性”。

 

爱因斯坦的传记作家们一致认为,很可能他自己看到过教科书上常用的标准证明,也即是,相似的三角形(相似的意思是,就像同一张照片,经过成比例的缩小或放大,就成了不同却又相似的照片)在证明过程中扮演了重要角色。沃尔特·艾萨克森(Walter Isaacson)、杰里米·伯恩斯坦(Jeremy Bernstein)和班诺什·霍夫曼(Banesh Hoffman)都得出了令人沮丧的结论,他们都认为,虽然爱因斯坦声称自己独自给出了毕达哥拉斯定理的一种新证明,但实际上他只是在无意中重新给出了早已为人所熟知的证明。

然而24年前,这一缺失的记录重新浮现了出来。在《分形、混沌、幂次定律》(“Fractals,Chaos,Power Laws”)一书中,物理学家曼菲尔德·施罗德(Manfred Schroeder)展示了一个极为简单的毕达哥拉斯定理证明,他认为该证明来自于爱因斯坦。

施罗德写道,这个证明是他的一个朋友展示给他的,他的朋友名叫施奈尔·李福森(Shneior Lifson),是一个在以色列魏兹曼科学院(the Weizmann Institute)工作的化学物理学家,而李福森又是从爱因斯坦的前助手之一物理学家恩斯特·斯特劳斯(Ernst Straus)那里听说的。

 

最终,是爱因斯坦本人把他的证明过程告诉给斯特劳斯的。尽管我们不能确定下面的证明一定出自爱因斯坦,但任何一个熟悉他论文的人都能从中看出,这个证明符合他的风格。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?首先让我们粗略浏览一下这个证明,以对它的整体结构有一个感性认识。

 

第1步:从直角到斜边划一条垂直线,将原先的直角三角形划分为两个较小的直角三角形。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

第2步:需要注意的是,小三角形(a)的面积加上中等三角形(b)的面积,等于大三角形(c)的面积。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

第3步:从技术层面上讲,大、中、小三角形都是相似的:它们对应的角是相等的,他们对应的边是等比的。你可以想象把它们拿起来,旋转它们,然后把它们逐一放下,让斜边朝上,直角在左下边:

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

第4步:这三个三角形是相似的,每一个都是由斜边构成的正方形面积的一部分。如果用符号来表示,我们就可以如下面的图表所示,把每个三角形的面积表示为fa²、fb²和fc²。 

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

(如果这一步让你觉得有点犯晕,不要着急,我会在下文做更多说明,我希望最终能让你理解它。)

 

第5步:记住,在第2步,我们已经知道,小的和中等的三角形加起来就是大三角形。因此,从第4步我们可以得出,fa²+fb²=fc²。 

 

第6步:公式两边除以f,你就可以得到a²+b²=c²,也即是等于两个正方形(a和b)面积之和。这就是毕达哥拉斯定理。

 

这一证明依赖于两个要点。第一个是,直觉三角形能被分拆为两个较小的直角三角形(第1步和第3步)。这是由直角三角形的特点决定的。比如,如果你试图把一个等边三角形分拆为两个较小的等边三角形,你就会发现你根本做不到。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?因此,爱因斯坦的证明揭示出为什么毕达哥拉斯定理只适用于直角三角形:它是唯一能由较小的自己组成更大的自己的一种三角形。第二个要点与相加性有关。为什么两个正方形面积相加等于大正方形(c)面积(第6步)?这是因为两个三角形面积相加等于大三角形面积(第2步),而且正方形面积与三角形面积是等比的(第4步)

 

正方形和三角形之间的逻辑关系来自于令人困惑的第4步。在这里,我需要举例解释一下。我们假设最简单的一种直角三角形,等腰直角三角形,也被称为45-45-90度三角形,你用正方形的对角线切分正方形,就能得到两个等腰三角形。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

与之前一样,用斜边构建一个正方形。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

如果我们在新建的正方形上用虚线划出对角线,图形看起来就像是一个信封的折叠说明图。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

正如你所看到的,正方形里有4个三角形,它们与先前的那个三角形完全一样。或者换种说法,每个三角形都占据了正方形的四分之一,也即是f=1/4,而这个f就是第4步提到的f。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?现在,你可能还是觉得有点晕,因为我们完全没提到这个等腰三角形和正方形有多大。对任何一个这样的信封来说,它们的面积之比总是1比4,这与信封的大小无关,而与它的形状有关。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?

 

这就是第4步的真相所在。你认为想出这一思路很简单吗?不!

 

对于任何形状的任何直角三角形,证明的思路都是一样的,不一定非得是等腰直角三角形。直角三角形的面积总是以它的斜边为边长构建的正方形的一部分,我们用f来表示。无论直角三角形及其斜边构建的正方形有多大或多小,f总是不变的。当然,f的值要取决于直角三角形的形状,如果它的底边很长,那么它的斜边构成的正方形的面积与它的面积之比就会远远大于4倍,因此,f的值就会远小于1/4。但是,f值的大小与证明该定理无关。爱因斯坦的证明表明,在最后一步,f消失了,没起到任何作用。f在第4步出现,很快又在第6步消失。

 

在这一证明过程中,我们看到了对对称证明法的精彩使用。在科学和数学中,即便一个事物在某方面有所变化,但它在有些方面仍保持不变,我们就可以说这个事物是对称的。比如,球体就是旋转对称的,无论你怎么旋转它,它都是一样的。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?一个罗夏墨迹测验(Rorschach inkblot)也反映了一种对称:它的镜像与原像是对称的。在这个证明的第4步,爱因斯坦利用了一种被称为比例缩放(scaling)的对称法。他用每个直角三角形的斜边构建了一个正方形,而它们是等比例的,其等比相似性就像是在复印机上同比例缩放一样。这种缩放改变了几何图形的某些特征(它们的面积和边长),但其他特征却保持不变(它们的角度、形状和面积之比)。正是面积之比的恒定不变才让第4步的证明站住了脚。

 

纵观他的职业生涯,爱因斯坦一直在通过使用对称证明法,直抵事物的本质,就像手术刀一样精准。

 

后来,他注意到了电磁学理论中的非对称性,并由此得到启发,最终在1905年发表了具有划时代意义的狭义相对论。他曾说过:

“当麦克斯韦的电动力学——今天我们已经可以很好地理解它——应用在移动物体上时,会产生非对称现象,而这种非对称似乎并不是本来就有的。”

 

爱因斯坦意识到,这些非对称现象一定预示着经典物理学的根基可能受到了动摇。在他看来,所有的事物——空间、时间、物质、能量——都可以理解,唯独对称性不好理解。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?想象一下,这得需要多大的勇气,才能从最基础开始重建几乎整个物理学啊,而这一过程还意味着必须修正牛顿和麦克斯韦这样的物理巨人的理论。

 

狭义和广义相对论在本质上都是几何理论。它们认为宇宙在三维之外还有第四个维度,那就是时间。在狭义相对论中,毕达哥拉斯定理被用于测量两个事物的间距(对空间和时间的测量),而不是被用于测量两点之间的距离(对空间的测量)。在广义相对论中,时空本身是弯曲的,从而导致物质和能量也有了曲率,因此,毕达哥拉斯定理仍有用武之地,它被变型为一种量度法,测量事物在极为接近之时的时空分离度,而这个时候曲率是可以被暂时忽略的。从某种程度上讲,毕达哥拉斯定理是爱因斯坦毕生的挚爱。

 

他证明毕达哥拉斯定理的风格既优美又简单,还启发了后世的科学家。爱因斯坦在第1步划出的那根垂直线,让他对毕达哥拉斯定理的证明一气呵成,犹如瓜熟蒂落。这种追求极简方法的风格成为爱因斯坦成年后的工作特点。令人难以置信的是,在那篇颠覆了我们对空间和时间认知的狭义相对论论文中,其中一些证明所用到的数学知识甚至没有超过高中代数和几何的水平。

 

在很多人看来,年轻的爱因斯坦似乎很轻松就搞定了对毕达哥拉斯定理的证明,但实际情况并非如此。

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?还记得吗,在《周六文学评论》的文章中,他说过,该证明让他“付出了大量的努力”。在后来的人生中,这种韧劲——爱因斯坦认为是一种固执——极大地成就了他。他花了好些年才提出广义相对论,并且他也经常被该理论要用到的抽象数学所难倒。尽管他的数学能力很强,但他并不是世界上最顶尖的数学家。(“哥廷根街上的任何一个人都比爱因斯坦更能理解什么是四维几何”,他同时代的数学家大卫·希尔伯特曾经说道。)

 

在证明毕达哥拉斯定理多年之后,爱因斯坦与一个正为数学抓狂的12岁学生分享了他的经验。

 

1943年1月3日,一个名叫芭芭拉·李·威尔逊(Barbara Lee Wilson)的初中生写信给他,寻求学习建议。“我班上的大多数女生都会给自己心目中的英雄写粉丝信,”她在信的开头写道,“你 + 我(译注:原文如此)在海岸警卫队工作的叔叔就是我的英雄。”威尔逊告诉爱因斯坦,她对自己在数学上的表现深感焦虑:“我不得不比我大多数朋友学习更长的时间,我很焦虑(也许是非常焦虑)。”

 

4天之后,爱因斯坦给她回了信。

 

“直到今天,我也从没想过自己会成为英雄,”他写道。“不过,既然你这么称呼我,我觉得我好像还算是个英雄吧。”

 

12岁的爱因斯坦是如何独立证出勾股定理的?关于威尔逊的学业问题呢?

 

爱因斯坦如此回复,“你不要为在数学上遇到的困难感到焦虑,我敢向你保证,我对数学的焦虑比你更严重!

始发于微信公众号:超级数学建模

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slduo
  • 本文由 发表于 2018年3月9日23:15:44
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